Looking for a new version of Gordon's identities : from algebraic geometry to combinatorics through partitions

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À la recherche d’une nouvelle version des identités de Gordon : de la géométrie algébrique à la combinatoire en passant par les partitions Une partition d’un nombre entier positif n est une suite décroissante des entiers positifs dont la somme est égal à n. Les entiers qui y apparaissent sont appelés les parties de la partition. Ma thèse est centrée sur l’étude des partitions des nombres entiers et les identités qui les relient. Plus précisément, il s’agit de montrer que le nombre de partitions ayant une propriété A est égal au nombre de partitions ayant une autre propriété B. Ce type d’identité joue un rôle important en théorie des nombres, en combinatoire, en théorie de représentations et en physique statistique. Une de ces identités est la suivante: Théorème. (La première identité de Rogers-Ramanujan) Le nombre de partitions d’un nombre naturel n dont les parties sont congruentes à 1 ou 4 modulo 5 est égal au nombre de partitions de n dont les parties ne sont ni égales ni consécutives. Dans ce travail, on étudie les identités entre les partitions en utilisant la relation entre les combinatoires des partitions et les combinatoires de l’algèbre graduée associée à un objet important de la géométrie algèbrique: l’espace des arcs. Étant donnés un corps k de caractéristique zéro et des polynômes f1,…,fm de k[x1,…, xn], l’espace des arcs associé correspond à l’idéal I de S:=k[x1j,…, xnj|j>-1], engendré par les coefficients de certains développements associés aux polynômes ci-dessus et aux variables xij. Si on prend xi,0 = 0 pour i=1,…,n, la série de Hilbert-Poincaré de l’algèbre graduée S\I est étroitement liée aux partitions des entiers satisfaisants des conditions qui dépendent de l’idéal I. Dans le cas où f(x) = x^r de k[x], l’idéal I de k[x1, x2, … ] est un idéal différentiel pour la dérivation D(xi) = xi+1, dans le sens que DI est inclus dans I. En effet, dans ce cas I est engendré par x1^r et tous ses dérivés itérées. nous montrons que pour r = 2 le calcul de la base de Gröbner de l’ideal I par rapport à l’ordre lexicographique pondéré est lié à une identité faisant intervenir les partitions qui apparaissent dans la première identité de Rogers-Ramanujan. Nous prouvons ensuite qu’une base de Gröbner de cet idéal n’est pas différentiellement finie, au contraire du cas de l’ordre lexicographique inverse pondéré. Nous donnons une preuve de ce point de vue des identités de Gordon qui forment une famille importante d’identités reliant les partitions. En utilisant des idéaux différentiels et des méthodes venant de l’espace des arcs, nous énonçons une conjecture qui pourrait ajouter un nouveau membre aux identités de Gordon. Nous l’avons déjà démontré pour un cas particulier. À la fin, nous donnons une preuve simple et directe d’un théorème de Nguyen Duc Tam sur la base de Gröbner de l’idéal différentiel [x1y1]; Nous obtenons ensuite des identités entres les partitions avec 2 couleurs.