Combinatorics, homotopy, and embedding of operads

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Combinatoire, homotopie et plongements d’opérades Les opérades algébriques sont un outil algébrique permettant d’encoder certaines variétés d’algèbres non-nécessairement associatives, comme les algèbres de Lie ou les algèbres pre-Lie. De plus, les opérades algébriques peuvent elles-mêmes être vues comme des algèbres dans une catégorie bien choisie. Cette remarque permet l’étude des opérades via les puissants outils de l’algèbre homologique. En parallèle, la catégorie monoïdale telle que les objets en monoïde de cette catégorie sont les opérades est la catégorie des espèces combinatoires munie du pléthysme. Cela permet d’adopter un point de vue très combinatoire sur les opérades donnant ainsi des descriptions très explicites des objets considérés. Ces deux approches synergisent très bien ensemble et cette thèse se concentrera sur l'interaction entre ces deux points de vue. En effet, nous utiliserons des outils homotopiques tels que la dualité de Koszul opéradique pour obtenir des informations combinatoires sur les opérades que nous étudions. Nous utilisons ensuite celles-ci pour obtenir des descriptions combinatoires permettant d'effectuer des calculs explicites. Cette thèse est divisée en trois parties. La première partie est une introduction à la théorie des espèces. Ensuite, nous donnons une introduction à la théorie des opérades algébriques et à la dualité de Koszul opéradique. Enfin, nous calculons certaines descriptions combinatoires d’opérades, et les appliquons pour prouver une conjecture de Dotsenko sur un plongement de l'opérade encodant la structure algébrique sur le champ de vecteurs des variétés de Frobenius.