Rigid objects : from higher cluster category combinatorics to homotopical algebra

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Objets rigides : de la combinatoire des catégories amassées supérieures à l'algèbre homotopique Dans cette thèse, nous décrivons une réalisation géométrique des carquois de type Dynkin, et certains carquois euclidiens. Nous traitons le cas D ̃n en profondeur et démontrons quelques résultats complémentaires aux travaux de Baur, Marsh et Torkildsen sur les réalisations géométriques des catégories amassées supérieures. Pour le cas D ̃n, on trouve la figure qui correspond à l'étude, on démontre la compatibilité entre le flip d'une (m+2)-angulation, et la mutation de carquois coloré. On trouve une bijection entre les objets m-rigides et chaque arc dit admissible, puis entre les objets amas-basculants et les (m+2)-angulations. De plus, on démontrela compatibilité entre la réduction d'Iyama-Yoshino, et le fait de couper le long d'un arc, qu'on définira formellement. Nous démontrons aussi qu'une catégorie exacte est une catégorie de préfibration au sens de Anderson-Brown-Cisinski, qui vérifie le théorème de Quillen, et une catégorie de Frobenius est munie d'une structure de modèle, compatible avec le passage à la catégorie stable, qui est triangulée