Discrete polyharmonic functions and their applications in combinatorics

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Fonctions polyharmoniques discrètes et leurs applications en combinatoire Le point de départ de cette thèse est un article écrit par Chapon, Fusy et Raschel en 2020. Dans cet article les auteurs remarquent que dans un développement asymptotique du nombre de chemins dans le quart de plan Z≥0 × Z≥0, la dépendance du point final est décrite par des fonctions dites `polyharmoniques discrètes'. Ils montrent aussi que dans le cas continu, le noyau de la chaleur conduit à un un développement utilisant des fonctions polyharmoniques continues.Il est déjà connu grâce à Denisov et Wachtel que, sous des hypothèses plutôt faibles dans une approximation de premier ordre, ce développement asymptotique est étroitement lié aux fonctions harmoniques discrètes. Plus précisément, soit q(x; n) le nombre de chemins de l'origine au point "x" et de longueur "n", alors on peut écrire (aux questions de périodicité près) q(x; n) ∼ γn V (x) ,où γ, c sont des constantes (réelles), et V(x) est une fonction harmonique discrète. On peut alors se poser la question si on peut étendre ce résultat, c'est-à-dire écrire pour un k ∈ N quelconque q(x;n)=frac{gamma^n}{n^c}sum_{p=1}^{k-1}frac{v_p(x)}{n^p}+mathcal{O}left(frac{1}{n^k}ight) où γ, c sont des constantes comme ci-dessus, et chaque v_p est une fonction polyharmonique (discrète) de degré p. Ce serait dans un certain sens un analogue du cas continu, où un développement du noyau de la chaleur permet un développement de cette forme.De plus, contrairement au cas continu, la construction des fonctions polyharmoniques discrètes dans le quart des plan n'est (à la connaissance de l'auteur) pas encore étudiée.Ces deux questions forment la partie principale de cette thèse. Après avoir introduit certaines notions basiques et préliminaires techniques dans les chapitres 1 et 2, nous construisons dans le chapitre 3 une base de l'espace des fonctions polyharmoniques discrètes dans le quart de plan par deux méthodes différentes. La première est plus simple techniquement et strictement algébrique. Par contre, elle mène à une base qui est, semble-t-il, peu applicable dans un contexte combinatoire. La deuxième approche utilise des fonctions de découplage comme dans un article récent de Bernardi, Bousquet-Mélou et Raschel, et nous permet de construire des fonctions polyharmoniques discrètes pour tous les modèles avec un groupe fini. Si π est un multiple entier de l'arc tangente du coefficient de corrélation, alors cette base est formée de fonctions dont les fonctions génératrices sont rationnelles et d'une forme assez simple.Les chapitres 4 et 5 sont consacrés à la deuxième question, relative à la structure du développement asymptotique. Pour les modèles qui satisfont une certaine condition (nous disons dans ce cas qu'ils permettent une `sommation orbite', ce qui signifie qu'ils ont des propriétés algébriques remarquables liées à leur groupe de réflexion), nous prouvons dans le chapitre 4 la conjecture de Chapon, Fusy et Raschel, en utilisant la méthode du point-selle. Dans le chapitre 5, nous considérons une famille de modèles avec groupe infini. L'outil principal pour traiter ces modèles est la paramétrisation de la courbe du noyau par des fonctions theta de Jacobi. Il se trouve, peut-être étonnamment, que pour ces modèles la structure de ce développement est vraiment plus compliquée : il contient aussi des termes logarithmiques.