Combinatorics of singularities of some special curves and hypersurfaces

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Combinatoire des singularités de certaines courbes et hypersurfaces La thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie on généralise la Théorie d’Abhyankar-Moh à un type spécial de polynômes, les polynômes libres. Soit f un polynôme non nul de K[[x1, ..., xe]][y] et supposons, moyennement un changement des variables élémentaires, que la composante homogène de plus bas degré du discriminant de f contient une puissance de x1. Une transformation monômiale dans K[[x1, ..., xe]] transforme f en un polynôme quasi-ordinaire avec une racine dans K[[x1n1 , ..., x1ne ]], n ∈ N. En prenant la Préimage de f par le morphisme, nous obtenons une solution y ∈ KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] de f(x1, ..., xe, y) = 0, où KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] est l’anneau des séries fractionnaires dont le support appartient à un cône convexe C. Ceci nous permet de construire l’ensemble des exposants caractéristiques de y, et de généraliser certains des résultats concernant les polynômes quasi-ordinaires au polynôme f. Dans la deuxième partie, nous donnons un algorithme pour calculer le monoïde des degrés du module M = F1A + . . . + FrA oúA = K[f1(t), . . . , fs(t)] et F1, . . . , Fr ∈ K[t]. Nous donnons ensuite des applications concernant le problème de la classification des courbes polynômiales ( C’est-à-dire, des courbes algébriques paramétrées par des polynômes) par rapport à certains de leurs invariants, en utilisant le module de différentielles Kähleriennes.