Products of Geck-Rouquier conjugacy classes and the Hecke algebra of composed permutations

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We show the $q$-analog of a well-known result of Farahat and Higman: in the center of the Iwahori-Hecke algebra $\mathscr{H}_{n,q}$, if $(a_{\lambda \mu}^ν (n,q))_ν$ is the set of structure constants involved in the product of two Geck-Rouquier conjugacy classes $\Gamma_{\lambda, n}$ and $\Gamma_{\mu,n}$, then each coefficient $a_{\lambda \mu}^ν (n,q)$ depend on $n$ and $q$ in a polynomial way. Our proof relies on the construction of a projective limit of the Hecke algebras; this projective limit is inspired by the Ivanov-Kerov algebra of partial permutations. Nous démontrons le $q$-analogue d'un résultat bien connu de Farahat et Higman : dans le centre de l'algèbre d'Iwahori-Hecke $\mathscr{H}_{n,q}$, si $(a_{\lambda \mu}^ν (n,q))_ν$ est l'ensemble des constantes de structure mises en jeu dans le produit de deux classes de conjugaison de Geck-Rouquier $\Gamma_{\lambda, n}$ et $\Gamma_{\mu,n}$, alors chaque coefficient $a_{\lambda \mu}^ν (n,q)$ dépend de façon polynomiale de $n$ et de $q$. Notre preuve repose sur la construction d'une limite projective des algèbres d'Hecke ; cette limite projective est inspirée de l'algèbre d'Ivanov-Kerov des permutations partielles.