Iterated morphisms, combinatorics on words and symbolic dynamical systems

Source abstract

Morphismes itérés, combinatoire des mots et systèmes dynamiques symboliques La thèse actuelle porte sur le thème de la combinatoire des mots et des systèmes dynamiques symboliques. Les systèmes dynamiques symboliques sont des objets permettant de coder les trajectoires de mots dans des systèmes dynamiques de transformations d’espaces topologiques. Parmi ces systèmes dynamiques, des exemples bien connus sont donnés par des mots sturmiens et par d'échange d’intervalles. Les mots sturmiens sont liés à des algorithmes de géométrie discrète et l’échange d’intervalles forme une classe intéressante de systèmes dynamiques. En outre, il convient de mentionner que certaines familles d'échanges fournissent des généralisations prometteuses de mots sturmiens. Le sujet principal de la thèse est la reconnaissabilité des mots générés par les morphismes primitifs. Le concept de reconnaissabilité des morphismes trouve son origine dans l’article de Martin [1] sous le terme de détermination. Host a utilisé ce terme pour la première fois dans son article sur la théorie ergodique des systèmes dynamiques [2]. La notion de reconnaissabilité est apparue après lintêrt manifesté par de nombreux scientifiques pour ses diverses applications théoriques dans divers domaines, de la combinatoire des mots à la dynamique symbolique. Une notion similaire est celle de la circularit. Les deux termes sont souvent, mais pas toujours utilisés comme synonymes. Ce manque de cohérence dans la littérature pourrait être source de confusion. À la connaissance de l’auteur, il n’y a pas encore d’étude qui rassemble ces définitions et prouve leur équivalence ou indique les différences qui existent entre elles. Une approche solide de ce sujet, utilisant une définition cohérente de la reconnaissabilité et de la circularité. La notion de reconnaissabilité associée à une technique utilisée dans [3] a été utilisée afin de démontrer la décidabilité de différentes propriétés de graphes d’extension (définis dans [18]) d’éléments d’un langage. Les familles d’ensembles peuvent être définies à partir des propriétés du graphe d’extension de leurs éléments, tels que les ensembles acycliques, les ensembles d’arbres, les ensembles neutres, etc. Plus précisément, pour un ensemble de mots S, on peut associer à chaque mot w ∈ S son extension graphique qui décrit les extensions gauche et droite possibles de w dans S. Nous montrons comment utiliser la reconnaissabilité pour fournir la décidabilité des graphes d’extension. En outre, la notion de reconnaissance est utilisée dans lobjet de semigroupes profinite. Nous décrivons la relation entre la reconnaissabilité des morphismes et les propriétés des semigroupes profinites libres [5].Bibliography[1] John C. Martin. Minimal flows arising from substitutions of non-constant length. Math. Systems Theory, 7:72–82, 1973.[2] B. Host. Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitutions de longueur variable. Ergodic Theory Dynam. Systems, 6(4):529–540, 1986.[3] Klouda, K. and Starosta, Š. "Characterization of circular D0L systems", arXiv preprint arXiv:1401.0038 (2013).[4] Berthé, V., De Felice, C., Dolce, F. et al. Monatsh Math (2015) 176: 521. https://doi.org/10.1007/s00605-014-0721-4[5]Kyriakoglou ,R., Perrin ,D. "Profinite semigroups", arXiv:1703.10088 (2017)