Application of graph combinatorics to rational identities of type $A^\ast$

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To a word $w$, we associate the rational function $\Psi_w = \prod (x_{w_i} - x_{w_{i+1}})^{-1}$. The main object, introduced by C. Greene to generalize identities linked to Murnaghan-Nakayama rule, is a sum of its images by certain permutations of the variables. The sets of permutations that we consider are the linear extensions of oriented graphs. We explain how to compute this rational function, using the combinatorics of the graph $G$. We also establish a link between an algebraic property of the rational function (the factorization of the numerator) and a combinatorial property of the graph (the existence of a disconnecting chain). À un mot $w$, nous associons la fonction rationnelle $\Psi_w = \prod (x_{w_i} - x_{w_{i+1}})^{-1}$. L'objet principal, introduit par C. Greene pour généraliser des identités rationnelles liées à la règle de Murnaghan-Nakayama, est une somme de ses images par certaines permutations des variables. Les ensembles de permutations considérés sont les extensions linéaires des graphes orientés. Nous expliquons comment calculer cette fonction rationnelle à partir de la combinatoire du graphe $G$. Nous établissons ensuite un lien entre une propriété algébrique de la fonction rationnelle (la factorisation du numérateur) et une propriété combinatoire du graphe (l'existence d'une chaîne le déconnectant).