Mathematical model for ionic exchanges in renal tubules : the role of epithelium

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Model mathématique pour les échanges ioniques dans les tubules rénaux : le rôle de l'épithélium Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant un modèle mathématique pour une composante particulière du rein, l’anse de Henle. L’accent est mis sur les échanges ioniques qui ont lieu dans les tubules du néphron, unité fonctionnelle de cet organe. Le modèle prend explicitement en compte la couche épithéliale à l’interface entre la composante tubulaire et le milieu environnant (interstice) où les tubules se plongent. Le but principal de cette thèse est de comprendre si l’épithélium (membrane cellulaire) a un impact sur le modèle mathématique, comment son rôle l’influence et s’il offre plus d’informations sur le gradient de concentration, un facteur déterminant pour la capacité de concentration de l’urine. Dans une première partie du manuscrit, nous décrivons un modèle simplifié pour les échanges de sodium dans l’anse de Henle, et nous montrons que c’est un problème bien posé en montrant l’existence, l’unicité et la positivité de la solution. Il s’agit d’un système hyperbolique 5×5 avec des vitesses constantes, un terme ’source’ et des conditions spécifiques au bord. Ensuite nous présentons un passage rigoureuse à la limite pour ce système 5×5 vers un système d’équations 3×3, représentant le modèle sans couche épithéliale, pour clarifier le lien entre les deux modèles. Dans la deuxième partie, grâce à une analyse du comportement asymptotique, nous montrons que notre modèle dynamique converge vers le système stationnaire avec un taux de convergence exponentiel en temps grand. Afin de démontrer rigoureusement ce résultat global de stabilité asymptotique, nous étudions les éléments propres d’un système auxiliaire avec un opérateur linéaire et son duale associé. Nous présentons également des simulations numériques sur la solution liée au système stationnaire pour comprendre le comportement des concentrations d’ions même au niveau physiologique.