Lineer Diferansiyel Denklemler ve Çözümleri Üzerine

Source abstract

Spektral teori modern matematiğin tarihi içerisinde fiziksel ve matematiksel yapılar hakkında en bilgi verici araç olmuştur. Son altmış yıldaki matematiksel yayınlarla bu konu oldukça hızlı bir gelişim göstermiştir. Katı hal fiziğinde ve kristallerin kuantum mekaniği ile ilgili metallerin teorisinde ortaya çıkan periyodik katsayılı diferansiyel denklemlerin spektral analizi fizikçilerin ve matematikçilerin ortak ilgi alanlarından biri olmuştur. Buradaki spektral analiz kavramı aslında denklemin bazı şartlarla oluşturduğu özdeğerlerini ve bu özdeğerlerin denklemde yerleştirilmesiyle elde edilen ve adına özfonksiyon denilen çözüm fonksiyonlarının bulunması işlemidir. İki ucu bağlanmış bir telin titreşimi, yüzey üzerindeki elektrostatik potansiyel, iletken bir çubuk üzerindeki ısı iletimi gibi kuantum fiziğinden, dalga teorisine kadar birçok problem lineer diferansiyel denklemlerin değişik formları ile ifade edilmektedir. Bu çalışmada, lineer bir diferansiyel denklemin sonsuz boyutlu bir vektör uzayında diferansiyel bir operatör için özdeğer problemi olarak nasıl ortaya çıktığı ele alınmıştır. Ayrıca kendine eşlik kavramı, sonlu boyutlu uzayda lineer dönüşümlerle benzerlikten yararlanarak tanımlanmış ve kendine eş bir matrisin özdeğerlerinin reel ve özvektörlerinin ortogonal olması özelliklerinin Teorem 3 e nasıl çevrildiği gösterilmiştir.